타원 접선의 방정식

타원과 그 접선

타원은 중심을 기준으로 장축과 단축을 갖는 평면 곡선입니다. 타원의 방정식은 다음과 같이 표현됩니다:

[(x - h)^2 / a^2] + [(y - k)^2 / b^2] = 1

여기서 (h, k)는 타원의 중심 좌표를 나타내며, a와 b는 각각 장축과 단축의 반지름을 나타냅니다.

타원은 많은 수학적 성질을 가지고 있지만, 이번 글에서는 더욱 특별한 성질인 접선에 초점을 맞추고자 합니다.

타원의 접선 찾기

타원의 접선을 찾기 위해서는 먼저 타원의 방정식을 편리하게 변형해야 합니다. 타원의 방정식은 일반적으로 다음과 같이 표현됩니다:

y = k ± (b/a) * sqrt(a^2 - (x - h)^2)

이 때, 한 점에서 타원에 접하는 접선의 기울기는 두 변수 a와 b에 따라 다르게 됩니다. 기울기를 찾기 위해서는 해당 점에서의 도함수를 구해야 합니다. 타원의 방정식을 도함수로 미분하면 다음과 같습니다:

dy/dx = -[b^2 / (a^2 * (x - h))]

타원 접선의 방정식

타원에 접하는 접선의 기울기를 구했으므로, 기울기를 이용하여 접선의 방정식을 구할 수 있습니다. 접선의 방정식은 다음과 같이 표현됩니다:

y - y_1 = m(x - x_1)

여기서 (x_1, y_1)은 타원과 접하는 한 점의 좌표이며, m은 해당 점에서의 접선의 기울기입니다.

따라서, 접선의 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

y - (k ± (b/a) * sqrt(a^2 - (x - h)^2)) = -[b^2 / (a^2 * (x - h))](x - x_1)

이 방정식을 간단히 정리하면 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

y = mx + c

여기서 m은 접선의 기울기이며, c는 접선의 y 절편입니다.

예제

다음 예제를 통해 타원 접선의 방정식을 이해해보겠습니다.

예제 1:

주어진 타원의 방정식은 [(x - 2)^2 / 9] + [(y + 4)^2 / 16] = 1 이고, 접하는 점은 (2, 0)입니다.

먼저, 타원의 중심 좌표를 확인합니다. 주어진 방정식에서 (h, k)는 (2, -4)입니다.

다음으로, 타원의 반지름을 찾습니다. 타원의 장축 반지름은 4, 단축 반지름은 3입니다.

접선의 기울기를 찾기 위해 도함수를 계산합니다. dy/dx = -(16 / 9(x - 2)) 입니다.

따라서, 접선의 방정식은 y + 4 = -(16 / 9(2 - 2))(x - 2)으로 정리할 수 있습니다.

이를 계산하여 최종적으로 y = -8(x - 2) - 4를 얻을 수 있습니다.

예제 2:

또 다른 타원의 방정식 [(x + 1)^2 / 25] + [(y - 3)^2 / 16] = 1으로 주어졌고, 접하는 점은 (-1, 3)입니다.

중심 좌표 (h, k)는 (-1, 3)이며, 장축 반지름 a는 5, 단축 반지름 b는 4입니다.

접선의 기울기를 구하기 위해 도함수를 계산합니다. dy/dx = -[16 / 25(x + 1)] 입니다.

이를 이용하여 접선의 방정식을 구하면 y - 3 = -[16 / 25(-1 + 1)](x + 1)으로 정리할 수 있습니다.

최종적으로 y = -48/25(x + 1) + 3을 얻을 수 있습니다.

이를 통해 타원 접선의 방정식을 찾는 방법과 예제에 대해 알아보았습니다. 타원 접선은 타원의 특별한 성질 중 하나로, 수많은 수학적 응용분야에서 사용됩니다. 이해하기 쉬운 예제를 통해 타원 접선의 개념을 익히고, 다양한 문제에 적용해보시기 바랍니다.