타원 접선의 방정식
타원과 접선
타원은 중심을 기준으로 장축과 단축을 가지는 도형으로, 수학에서 중요한 역할을 합니다. 타원의 방정식을 이해하려면 먼저 타원과 접선에 대해 알 필요가 있습니다.
타원의 방정식
타원의 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
일반적인 형태:
$$\frac{{(x-h)^2}}{{a^2}} + \frac{{(y-k)^2}}{{b^2}} = 1$$
여기서, $(h, k)$는 타원의 중심의 좌표이며, $a$는 장축의 반지름의 길이, $b$는 단축의 반지름의 길이입니다.
타원의 접선
타원과 접선의 개념은 중요합니다. 접선은 타원과 한 점에서 만나는 직선으로, 이 점은 타원 위에 있어야 합니다.
타원 $E$의 방정식이 주어졌을 때, 접선의 방정식은 다음과 같습니다.
일반적인 형태:
$$\frac{{(x-h)^2}}{{a^2}} + \frac{{(y-k)^2}}{{b^2}} = 1$$
접선의 방정식: $$\frac{{(x-h)x_1}}{{a^2}} + \frac{{(y-k)y_1}}{{b^2}} = 1$$
여기서, $(x_1, y_1)$은 접선이 만나는 타원의 한 점의 좌표입니다. 이 점은 타원 위에 있으므로, 방정식을 만족시킵니다.
예제
간단한 예제를 통해 타원 접선의 방정식을 생생하게 이해해보겠습니다.
예제 1:
타원 $E: \frac{{(x-2)^2}}{{9}} + \frac{{(y-3)^2}}{{4}} = 1$의 접선을 구하세요. 접선이 만나는 타원 위의 한 점과 접선의 방정식을 구하세요.
풀이:
타원의 방정식을 일반적인 형태로 변형하면: $\frac{{(x-2)^2}}{{3^2}} + \frac{{(y-3)^2}}{{2^2}}=1$ 입니다.
따라서, 중심은 $(2,3)$이며 장축의 반지름의 길이는 $3$, 단축의 반지름의 길이는 $2$입니다.
우리는 접선을 찾아야 합니다. 먼저, 접선이 만나는 타원 위의 한 점을 찾아야 합니다.
임의의 접선의 방정식을 $y = mx + c$라고 가정해봅시다.
타원의 방정식에 $y = mx + c$를 대입하면 다음과 같은 이차방정식을 얻을 수 있습니다.
$$\Big(\frac{{(x-2)}}{3}\Big)^2 + \Big(\frac{{(mx + c - 3)}}{2}\Big)^2 = 1$$
이 방정식을 $x$에 관해 풀어보면,
$$4(m^2+4)x^2 + 12c(m^2+4)x + 45c^2 + 36(m^2+4) - 81 = 0$$
이제, 이차방정식에 중근이 있어야 서로 다른 실근을 갖을 수 있습니다. 즉, 판별식 $12c(m^2+4)^2 - 4(4(m^2+4))(45c^2 + 36(m^2+4) - 81)$을 0으로 만들어줘야 합니다.
이 판별식을 정리하면,
$$144c^2m^2 + 576c^2 - 2448c + 1296m^2 + 5184 - 11664 = 0$$
$$1296m^2 + 144c^2m^2 - 11664c^2 - 2448c + 5184 = 0$$
이차항 $m^2$에 대한 계수 $1296 + 144c^2 = 0$를 만족시키는 $m$을 찾아봅시다.
계수 $1296 + 144c^2 = 0$으로부터 $c = \pm\frac{3}{2}$를 얻을 수 있습니다.
따라서, $c = \frac{3}{2}$ 또는 $c = -\frac{3}{2}$인 두 가지 경우로 나눌 수 있습니다.
1) $c = \frac{3}{2}$인 경우:
이를 기존의 방정식에 대입하면,
$$(x-2)^2 + \Big(\frac{3}{2} - 3\Big)^2 = 9$$
$$(x-2)^2 + \Big(\frac{3}{2} - \frac{6}{2}\Big)^2 = 9$$
$$(x-2)^2 + \frac{-3}{2}^2 = 9$$
$$(x-2)^2 = 9 - \frac{9}{4}$$
$$(x-2)^2 = \frac{27}{4}$$
둘러싸는 소괄호를 풀어쓰면,
$$x-2 = \pm \frac{\sqrt{27}}{2}$$
$$x = 2 \pm \frac{3\sqrt{3}}{2}$$
따라서, 접선과 타원이 만나는 점은 $A\Big(2 + \frac{3\sqrt{3}}{2}, 3 + \frac{3}{2}\Big)$입니다.
이제 접선의 방정식을 구해보겠습니다.
접선의 기울기 $m$은 방정식 $y = mx + \frac{3}{2}$의 계수 $m$입니다.
점 $A$를 대입하면,
$$3 + \frac{3}{2} = m\Big(2 + \frac{3\sqrt{3}}{2}\Big) + \frac{3}{2}$$
$$\frac{9}{2} = m\Big(2 + \frac{3\sqrt{3}}{2}\Big)$$
$$m = \frac{9}{2}\Big(2 + \frac{3\sqrt{3}}{2}\Big)^{-1}$$
따라서, 접선의 방정식은 $y = \frac{9}{2}\Big(2 + \frac{3\sqrt{3}}{2}\Big)^{-1}x + \frac{3}{2}$입니다.
2) $c = -\frac{3}{2}$인 경우:
마찬가지로 계산해보면, 접선과 타원이 만나는 점은 $B\Big(2 + \frac{3\sqrt{3}}{2}, 3 - \frac{3}{2}\Big)$이며, 접선의 방정식은 $y = \frac{9}{2}\Big(2 + \frac{3\sqrt{3}}{2}\Big)^{-1}x - \frac{3}{2}$입니다.
따라서, 타원 $E: \frac{{(x-2)^2}}{{9}} + \frac{{(y-3)^2}}{{4}} = 1$의 접선은 $y = \frac{9}{2}\Big(2 + \frac{3\sqrt{3}}{2}\Big)^{-1}x + \frac{3}{2}$ 또는 $y = \frac{9}{2}\Big(2 + \frac{3\sqrt{3}}{2}\Big)^{-1}x - \frac{3}{2}$입니다.
위의 예제를 통해 타원 접선의 방정식을 이해했을 것입니다. 중요한 포인트는 타원과 접선의 관계를 파악하는 것입니다. 접선의 방정식은 타원의 방정식에 $x_1$과 $y_1$이라는 변수들이 추가되는 형태입니다. 따라서, 접선을 구하기 위해서는 타원 위의 한 점을 찾아야 합니다. 또한, 예제의 풀이과정을 통해 복잡한 계산도 어떻게 해결해 나갈 수 있는지 알 수 있습니다.
타원 접선의 방정식은 수학의 중요한 개념 중 하나이며, 다양한 응용 분야에서 사용됩니다. 이를 통해 더 복잡한 문제에 대한 해결책을 찾는데 도움이 될 것입니다.