대칭행렬의 고유값은 실수입니다.

대칭행렬이란 무엇인가요?

대칭행렬은 행과 열의 순서를 바꾸어도 같은 값을 가지는 행렬입니다. 예를 들어, 만약 행렬 A가 대칭행렬이라면, A의 전치행렬인 A^T도 동일한 값을 가지게 됩니다.

고유값과 고유벡터란 무엇인가요?

고유값과 고유벡터는 행렬의 중요한 개념으로, 행렬 A에 대해 Av = λv를 만족하는 0이 아닌 벡터 v와 실수 λ를 고유벡터와 고유값이라고 합니다. 여기서 v는 고유벡터이며, λ는 고유값입니다. 즉, 고유벡터는 해당 행렬에 의해 스칼라만큼 스케일링되는 벡터이며, 고유값은 그 스케일링의 정도를 나타냅니다.

대칭행렬의 고유값은 항상 실수입니다.

대칭행렬의 고유값은 항상 실수입니다. 이는 대칭행렬의 대각화와 관련이 있습니다. 대칭행렬은 항상 대각화 가능하며, 이 의미는 대칭행렬은 항상 대각행렬(Diagonal matrix)로 나타낼 수 있다는 것입니다. 대각행렬은 모든 비대각 요소가 0인 행렬로, 주 대각선에 고유값이 위치하게 됩니다.

대칭행렬의 대각화

대칭행렬 A의 대각화는 다음과 같이 표현됩니다.

A = PDP^T

여기서 P는 A의 고유벡터로 이루어진 행렬이며, D는 A의 고유값이 대각 요소로 위치한 대각행렬입니다.

고유값의 실수성 증명

대칭행렬 A의 대각화 표현식에서 A = PDP^T입니다. 다음과 같은 관계식을 살펴보겠습니다.

A^T = (PDP^T)^T = (P^T)^T D^T P^T = PDP^T = A

A^T = A이기 때문에 대각행렬 D는 대칭행렬입니다. 이제 고유값이 실수라는 것을 증명하기 위해 D의 한 요소 λ를 고려해봅시다.

만약 λ가 복소수라면, D는 대칭행렬이 아니게 되므로 모순이 발생합니다. 따라서, 모든 고유값은 실수입니다.

대칭행렬 고유값의 예제

다음은 대칭행렬과 해당하는 고유값과 고유벡터의 예제입니다.

행렬 A = [[5, 2], [2, 3]]라고 가정합니다. 이 행렬의 고유값과 고유벡터를 찾아보겠습니다.

먼저, 행렬 A에서 (A-λI)x = 0을 만족하는 λ와 x를 찾습니다.

적당한 λ를 고르면 행렬 A-λI = [[5-λ, 2], [2, 3-λ]]가 되고, 다음과 같은 행렬식을 풀어줍니다.

(5-λ)(3-λ)-4 = λ^2 - 8λ + 11 = 0

위의 방정식을 풀면 λ = 4, λ = 1이 됩니다. 따라서, 행렬 A의 고유값은 4와 1입니다.

이제 각 고유값에 대응하는 고유벡터를 찾아봅시다.

λ = 4에 대하여, (A-4I)x = 0을 만족하는 x를 찾으면 됩니다.

[1, 2]가 이에 해당합니다.

λ = 1에 대하여, (A-1I)x = 0을 만족하는 x를 찾으면 됩니다.

[-1, 1]이 이에 해당합니다.

따라서, 행렬 A의 고유값은 4와 1이며, 각 고유값에 대응하는 고유벡터는 [1, 2]와 [-1, 1]입니다.

정리

대칭행렬의 고유값은 항상 실수입니다. 대칭행렬은 대각화 가능하며, 고유값은 대각행렬에 위치하게 됩니다. 이러한 성질을 이용하여 고유값과 고유벡터를 구할 수 있습니다. 고유값과 고유벡터는 다양한 분야에서 응용됩니다.

이상으로 대칭행렬 고유값에 대한 설명을 마치겠습니다. 질문이 있으시면 언제든지 댓글로 남겨주세요!